2024年10月25日至11月29日，丹麦斯基勒大学荣休教授、国际科学史研究院院士Jens Høyrup教授在清华大学科学史系系厅做了主题为前现代数学史选讲的系列讲座。讲座由清华大学科学史系副教授蒋澈、清华大学副教授Alberto Bardi和清华大学助理教授鲁博林主持。来自清华大学、中国科学院、中国社科院、中国人民大学和北京师范大学等院校的师生以及数学史爱好者们参加了本系列讲座。
本系列讲座分为六讲。
第一讲：美索不达米亚的国家形成、行政管理、“公正”观念与数学发展史
本讲集中于从“外史”角度解释数学在早期国家形成中如何逐步从实用技术转变为复杂工具，以及这一转变对社会结构和行政模式的影响。首先，Høyrup教授探讨了数学在美索不达米亚的形成过程中和国家的相互作用，分析了行政、分配系统和数学技术的交织发展，指出数学的演进依赖于国家提供的支持性机构（如学校和研究机构），而国家的有效运转也需要数学技术，如会计与统计。随着技术的进步，特别是信息技术的兴起，现代国家对公民的控制显著增强，这种背景为美索不达米亚的讨论奠定了基础。Høyrup教授聚焦于美索不达米亚的城市如苏萨和乌鲁克的行政创新，特别是陶土标记（token）的使用。这些标记最初用作简单的分配工具，后来发展为更复杂的簿记和税收系统。此外，他详细描述了文字的发明过程，从象形文字到楔形文字，以及它们如何支持复杂的经济和社会管理。战争和人口压力是推动早期国家形成的重要因素，Høyrup展现了国家如何通过重新分配资源、税收和行政改革建立权威。此外，他提出数学技术（如计量系统和月历）不仅反映了社会需求，也进一步推动了社会的复杂化。
Høyrup教授强调，数学不仅仅是工具性的存在，它深刻地塑造了早期国家的结构和运行模式。
第二讲：古巴比伦数学及其中的“代数学”部分
本讲探讨了公元前1800至1600年古巴比伦超实用主义“代数”的特点。Høyrup教授详细解释了古巴比伦人如何运用几何图形解决现代意义上的代数问题，尤其是二次方程问题。他们通过构建和操作几何图形来寻找问题的解，这种方法在形式上与现代代数方程的解法相似，但在实际操作中却依赖于几何量的具象表示。古巴比伦数学的这种几何代数与现代代数的主要区别在于，后者以抽象的数字作为基础表示，而前者则以具体的几何量为基础。
此外，讲座还讨论了古巴比伦数学的社会功能和文化意义。这种数学实践不仅是技术训练，也是书写文化和专业身份的一部分。古巴比伦的数学教育可能仅限于一部分未来的书吏或书吏学校教师，这些高级数学知识在公元前1600年左右的社会体系崩溃后逐渐被遗忘。
第三讲：论证与证明
本讲探讨了古希腊数学中的推理与证明方法，特别是通过对比分析古代数学家希波克拉底对“lunes”（月牙形）面积计算的研究来说明这一点。首先Høyrup教授介绍“locally obvious”概念，意指在特定背景和受众下被认为是显然正确的知识或方法，然后通过分析希波克拉底的著作及其所使用的工具和假设，揭示其在进行数学证明时依赖于当时普遍认为明显的事实，例如圆形和正方形面积的比例关系、相似图形面积比等于对应边长平方比等，但缺乏现代形式的严格证明。此外，文中还讨论了批判（Kritik）的重要性，指出即便是被认为显而易见的知识也可能会受到质疑，并通过比较不同版本的文本，进一步探究了希波克拉底作品的流传和可能的修订情况。最后，通过对希波克拉底探索各种月牙形面积计算方法的详细解读，强调了他的研究对于理解古希腊数学思想和方法具有重要意义。
第四讲：被遗忘的12世纪安达卢斯数学文化
本讲探讨了12世纪时期的安达卢斯（al-Andalus）数学文化及其对后世数学发展的影响，特别是通过分析斐波那契在其作品《演算之书》中的引用和改编，揭示了这一时期数学知识的传播与创新。首先，Høyrup教授概述了安达卢斯的历史背景及在此期间数学发展的大致情况，指出尽管该地区在历史上的存在并未得到广泛认识，但其对数学文化的贡献却鲜为人知，尤其是在代数领域。接着，详细讨论了斐波那契如何在其作品中融入了来自安达卢斯的数学思想和技术，包括对比例理论、几何问题解决方法以及代数基本规则的应用和创新。通过对这些数学问题和方法的比较分析，Høyrup教授进一步证明了斐波那契对安达卢斯数学遗产的依赖，并推测这一数学传统可能源自于该地区的特定文本或教学材料，但由于时间流逝和文化交流的断层，这些原始资料已大多失传。此外，还提到了其他数学家和文献，强调了数学知识在不同文化和时代之间的交流和传承。
第五讲：韦达与笛卡尔“新代数”的复杂前史
通过探讨数学史上的“新代数”的产生和发展，Høyrup教授详细分析了阿尔伯蒂、维塔尔、笛卡尔等人的贡献及其背后的社会文化因素。首先，Høyrup教授介绍了艾德加·齐塞尔关于科学社会根源的理论，指出现代科学并非单一由大学传统或文艺复兴人文主义创造，而是工匠和技术人员的实验方法和理性思考逐渐克服了社会偏见，与学者的逻辑训练相结合的结果。接着，深入讨论了代数学的发展历程，从早期意大利演算学派到德国的雷根梅斯特算术，再到法国数学家如何吸收并发展这些思想，形成新的代数体系。特别强调了弗朗索瓦·维塔尔和勒内·笛卡尔在这一过程中的关键作用，以及他们如何通过符号系统和代数方程解决了复杂的数学问题。最后，将数学的发展置于当时的人文主义背景下，说明了科学进步不仅是技术革新，也是对古代知识的重新评价和应用，促进了数学作为一门学科的成熟和发展。
第六讲：“演算几何”——一条没有未来的不显著传统
Høyrup教授通过探讨意大利演算几何（Abbacus geometry）的传统及其历史发展，展示了这一数学分支如何从实用计算中独立出来并形成了一套独特的理论体系。首先，指出了演算几何缺乏传统证明和高度系统化的特点，将其视为数学领域的一个边缘分支。随后详细介绍了演算几何的发展历程，从早期的算数手册到专门的几何教程，以及其在教育实践中的应用情况。他提到了几个关键时期的重要作品，如Columbia algorism、Primo amastramento和Liber habaci等，这些作品反映了演算几何在其形成和发展过程中的特点和变化。Høyrup教授通过对这些文本的分析指出了演算几何虽然在形式上与古典几何有很大不同，但它同样包含了许多数学原理和解决问题的方法，具有一定的理论价值和实践意义。最后，强调了演算几何对于理解中世纪欧洲数学教育和社会经济活动的重要性，以及它对后世数学教育和研究的影响。
Høyrup教授的6场讲座清晰严谨，内容丰富，深入浅出，为大家展示了一幅前现代数学兴衰的画卷。最后，Høyrup教授与听讲人一起合影留念。
撰稿：杨欣童
审核：蒋澈
