2023年6月7日系学术例会由本系2020级硕士生李霖源主讲。题目是从“笛卡尔的《几何学》”到“笛卡尔几何”——重思17世纪的解析几何（From Descartes’ La Géométrie to Cartesian Geometry: Rethinking Analytic Geometry in the 17th Century）。
报告人首先从对于作为现代数学术语的“解析几何”中“解析”一词含义的讨论开始，指出虽然“解析-分析”（analysis）在现代数学中通常是指与极限过程和微积分相关的数学方法与分支，但在17世纪笛卡尔使用“分析”这个词指向的是一种用以寻找任意几何问题的解的普遍数学方法，并解释了他在《第一哲学沉思》、《指导心灵的规则》以及《几何学》中论及“分析法”的文本。笛卡尔“分析法”所要恢复和超越的是古希腊几何学中作为启发性工具的“分析法”，相关的描述和示例出现在帕普斯（Pappus）的《数学汇编》（Συναγωγή, Collection, c.340）中，并经由韦达（Viète）的“分析技艺”（Ars Analytica）与新的代数方法建立起紧密的联系，并进而为笛卡尔所吸收。报告人还通过笛卡尔给出的例子展示了《几何学》中分析法的具体应用方法，并指出在他的著作中，解决几何问题是首要目的，代数只具有工具性的意义，且他并没有发展出一种“独立于几何对象预先存在的坐标系”的概念。
在第二部分，报告人讨论了笛卡尔几何学在17世纪的翻译、评注与传播问题。笛卡尔的原著《几何学》由于是用法语写成，且其内容并非是条理清晰的教科书，因此对17世纪其他数学研究者产生更大影响的并非是这部原著，而是由荷兰数学家小弗朗斯·范·斯霍滕（Frans van Schooten Jr.）所编译的带有大量评注与研究论文附录的《几何学》拉丁译本（1649；1659-1661；1683）。范·斯霍滕作为莱顿大学负责实践数学课程的教授，对于前沿的理论数学很感兴趣，并且在40至50年代组织起包括惠更斯（Christiaan Huygens）、胡德（Johann Hudde）、德·维特（Johan De Witt）在内的一批年轻数学研究者组成了一个笛卡尔几何学研究小组，并通过书信探讨如何将笛卡尔几何学应用于各种几何问题，以及曲线与方程理论。他们所写的数篇数学论文被范·斯霍滕收录到了1659-1661的《几何学》拉丁译本的第二版中，正是这个版本对笛卡尔几何学在欧洲的传播产生了重要影响，并促使“笛卡尔的《几何学》”（Descartes’ La Géométrie）中的内容变成一种带有标准流程与方法的“笛卡尔几何”（Cartesian Geometry）。
在第三部分，报告人展示了1669-1672年间惠更斯与斯律兹（René de Sluze）使用笛卡尔几何学方法关于几何光学中的“阿尔哈增问题”所做的一系列通信，并简要介绍了他们提出的若干种解法。这两位数学家不断采用新的坐标系，将问题转化为不同形式的代数方程，并以此构造各种曲线以找到问题的解，并试图说服对方自己的构造与分析方法更为简洁优雅，这引发我们思考一个问题：对于17世纪数学家来说，什么样的数学工作才是有意义的？
这次报告的内容作为报告人在之后博士期间的研究计划，得到许多老师和同学的建议。王巍老师询问了“分析法”和“综合法”的具体细节以及与现代数学方法的对应关系。胡翌霖老师指出，可以从古希腊几何学问题中所带有的“构造性”特征来理解“分析法”的实质。刘年凯老师提供了一个地质学中的案例，指出译本的影响力超过其原著在科学史中并不罕见。蒋澈老师对于范·斯霍滕的《几何学》拉丁语译本有可能会被应用于当时的数学教育，提示报告人可以从教育的视角作进一步研究。戴碧云同学对于笛卡尔的几何与想象的关系，以及代数在其中的地位提出了疑问。严弼宸同学对于笛卡尔是否真的缺少一种独立于几何对象预先存在的坐标系概念提出了质疑，并与胡翌霖老师和报告人展开了讨论。
